名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数
的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原
则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发
生的系列，用它的第一项便可以完全穷尽xn 的微分。其余各项之不被考虑，
并不是由于它们的相对微小；——这里并不曾假定有不精密之处、缺点或错
误，被另一错误抵消了或改善了，——卡尔诺主要就是从这种观点来为无限
小的普通计算方法辩护的。既然所处理的不是一个总和，而是一个比率，那
么，这个微分便完全可以由第一项找到；假如需要更多的项，即便高级的微
分时，其规定也不包含作为总和的一个系列之继续，而包含人们唯一想要有
的同一比率之重复，而这个比率却在第一项中已经完备了。对一个系列及其
总和的形式上的需要，以及和它有关的东西，都必须与那种对比率的兴趣分
别开。

卡尔诺关于无限大小的方法的种种解释，最明显地揭示了它含有上面引
证的想法中的一切最为动听的东西。但是，在转到运算本身时，通常的关于
被省略之项相对于其他项说来是无限小的想法，多少又出现了。卡尔诺是用
下述事实来辩解他的方法的，那就是，计算结果是正确的，引进这种不完整
方程（他是这样称呼这些方程的——就是那些作了这种算术上不正确省略的
方程）对于简化计算具有便利：他并不是从事物自身的性质来辩解它的。
大家都知道拉格朗日为了跳出无限小观念以及最初、最后比率和极限的
方法所引起的困难，重又采用了牛顿原来的方法，即级数法。他的函数计算，
在精确、抽象、普遍等方面的优点都已经得到足够的承认，这里所要举出的，
只是这种计算依靠，一个基本命题，即差分虽不戊为零，却可以认为是如此
微小，以至系列的每一项，在大小方面，都超过了一切后继各项的总和。—
—这个方法也是从增长和西数盖分的范畴开始，函数的变量得到增长，于是
便从原来的函数得到使人厌烦的系列；而在后来，系列的被省略的各项，同
样也只是鉴于它们构成了一个总和，才被考虑，省略它们的理由也是建立在
它们的定量的相对性上。所以一方面这里的省略一般也并不是回到前面曾经
提过的、在某些应用中出现的那种观点，以为系列各项应当有确定的质的意
义，而被忽略的各项并不是因为它们在量上不重要，而是因为它们在质上不
重要；另一方面，这种省略本身在所谓微分系数那种很重要的观点中便消除
了，这是拉格朗日在所谓升算应用中才确定地加以强调的观点，我们在下一
注释里还要对此详细讨论。

这里所谈的那种被称为无限小的量的形式，共一般质的特性已经证明；
这种质的特性在上述比率极限的范畴中，可以最直接地找到，而且极限在针
算中的使用成了特殊方法的标记。拉格朗日对这个方法的判断是：它在应用
中并不简便，极限这一名词也没有明确的概念；在这里我们愿意接受判断的
第二点，并仔细看看，关于极限的解析的意义提出了什么。在极限观念里，
当然包含着变量的质的比率规定这一以前说过的真正范畴；因为这些变量所
采取的dx 和dy 的形式，应该直捷地只被看作是
dy
dx
的瞬刻，而
dx
dy
本身则应
该被认为是唯一而不可分的符号。就升算的运用说，尤其是就计算的应用说，
升算由于微分系数的两端分开而取得的好处，因此便失去了，这一点可只暂
时置之不理。那个极限现在应该是某一函数的极限，——它应该标出与此函
数有关的某一个值，这个值是依导数（Ab1eltung）的方式而规定的。但是，
用单纯的极限范畴，我们并不能比用这个注释中所涉及的东西前进更远；这
个注释要指出在微分计算中出现为dx 和dy 的无限小，不仅具有一个非有限
的、非已知的大小那种否定的、空洞的意义，如人们所说的一个无限的数量，
或无限进展之类，而是具有量的、一个比率环节本身的质的规定性那种明确
意义。但是这个范畴却对一个已知函数那样的东西，还没有比率，与这个函
数的处理和那种规定在函数中的使用都没有牵涉；所以极限观念若是停留在
为它所已经证明的规定性里，便什么也引导不出来。但是极限这一名词本身
已经包含着它是某物的界限这种意思，即是锐它表示了变量函数中所包含的
某一个值；这就必须看一看这种具有极限的具体情况是如何发生的。——极
限应该是两个增量互相具有的比率的极限；在一个方程式中，有关的两个变
量，被当作是互为函数，它们被认为是以这两个增量而增加：这里的增长被
认为是本来不确定的，所以也并没有使用无限小。但是，首先，这种寻找极
限的道路，也招致了和其他方法所包含的同样的前后不一贯。这条道路如下。
假如y＝fx，当y 变为y 十k 时，则fx 应变为fx+ph+qh2+rh3??等等，所
以k＝ph＋qh2＋??等，而
k
h
＝p＋qh＝＋rh2?。假如现就是两种增长比率
的极限。可见h 作为定量是被当作＝0，但是
k
h
却不因此而是＝
0
0
，它还仍然
应该是一个比率。免去这里所包含的不连贯，应该是极限观念所获得的好处；
同时p 不是一个现实的比率，如
0
0
的比率，而仅仅是一定的值，比率可以无
限的接近它，以致其差别可以比任何已有的差别更小。下面将考察一下就彼
此应该真正接近的事物而论，接近有什么更确切的意义。一个量的差别，不
仅可以而且应该比任何已有的差别都更小，一个量的差别假如有了这种规
定，就不再是量的差别了，这一点本身是很明显的，共自明性和任何能够在
数学中是自明的东西一样；但是这样便没有超出
dy
dx
=
0
0
以外。另一方面，假
如：
dy
dx
= p ，即被认为是一定的量的比率，这个比率事实上也是如此，而以
h＝0 的假定（只有用它才找得出
k
h
=p），它却反倒陷于困境了。另外，假如
承认
k
h◇◇
＝0，——而有了h＝0，那么事实上自然也就有k＝0；因为增长为y，
只有在这个增长是h 的条件下才会出现，——于是要问p，这个完全确定的
量的值，究竟是什么。对此自然立刻有一个简单枯燥的回答，说它是一个系
数，由什么导数发生的，——即以一定方式由原始函数所导出的第一个函数。
假如对此可以满足，拉格朗日就实质而论，对此实际上也是满足的，那么，
微分计算科学的一般部分，紧接着那种称为极限理论的形式部分，免掉了增
长，然后又免掉了增长的无限小或任意的小，也免掉了这样的困难，即，除
首项而外，或不如说只是除首项的系数而外，要把因引入那些增长而不可避
免地出现的一系列的其他更多之项，重行销去，此外，也清除了与此相关的
其他东两，首先是无限、无限接近等形式的范畴，以及在这里是同样空洞的
连续量①范畴，而这些范畴在别处是像一个变化的倾向、发生、机缘等，同样
被认为是必需的。就完全可以满足理论的枯燥规定而言，p 不过是由展开一
个二项式而引导出来的一个函数，但是除此而外，现在必须指出，p 还有什
么更多的意义和价值，即对以后的数学上的需要，还有什么关联和用处；关
于这一点，将在注释二中讨论。这里接着首先要讨论的，是：问题主要所在
的几率，对于它本来的质的规定性的理解，由于在表述中流行使用的渐近观
念，引起了混乱。

我们已经指出过，所谓无限差分就是表示作为定量的比率的两端之消
失，而留下来的只是两端的量的比率，比率之所以纯粹，因为它是以质的方
式规定的：质的比率在此并没有丧失什么，倒不如说它正是有限的量转化为
无限的量的结果。我们已经看到这里正是事物的全部本性所在。——譬如纵
横座标的定量便消失于最后比率之中；但是这个比率的两端在本质上仍然一
端是纵座标的原素，另一端是横座标的原素。当人们用想像使一纵座标无限
地接近另一纵座标之时，从前有区别的纵座标便过渡为另一纵座标，以前有
区别的横座标也过渡为另一横座标；但是本质上，纵座标不过渡为横座标，
横座标也不过渡为纵座标。我们仍然欣这个变量的例子来说，这里并不是耍
把纵座标的原素看作是一个纵座标与另一个纵座标的区别，而要看作是对横
座标的原素的区别或说质的大小规定；一个变量的根本对另一变量的根本有
相互的比率。当区别不再是有限大小的区别时，它在本身以内，也就停止其
为杂多的东西，而消融为单纯的内涵，是一种质的比率环节对另一种质的比
率环节的规定性了。

① 连续量或流量这个范畴，是由观察外在的和经验的大小变化而提出的，——这些大小由一个方程式而有
了互为函数的关系，但是微分计算的科学对象，既然是一定的（通常用微分系数来表示的）比率，而这样
的规定性很可以称为规律；于是对这种特殊的规定性说来，单纯的连绩性一方面已经是一种外来的东西，
另一方面，这种连续性在一切情况下都是抽象的，而在这里则是空洞的范畴，因为它关于连续规律，什么
也没有说。在这里将会完全堕入什么样的徒具形式的定义，这从我的可尊敬的同事狄克孙教授先生*对微分
计算演繹时使用的基本规定，连系到对这门科学一些新著的批评所作的敏锐的、一般的论述，便可以看出，
这种论述见《科学评论年鉴》1827 年，153 号以下；在同上年鉴1251 页甚至引证这样的定义：“一个经常
的或连续的量，连续物（Kontinuum），是每一个被设想为在变的状况之下的大小，以致这个变的出现不是
以跳跃的方式，而是由于不断的前进。”这到底不过是被下定义的事物的同语反复而已。——黑格尔原注 *
狄克孙（Dirksen，EnnoHerren，1792—1850），柏林数学教授。著有《变数计算的解析表述》，1823