于正在
消失的大小的比率，必须理解为这样的比率，即大小不是在比率以前，也不
是在以后，而是莲同比率一起消灭的（quacdcum evanescunt）。正在发生的
大小的最初几率，也同样是速同比率一起发生的。

牛顿只是按科学方法的当时水平，说明了一个名词所指的是什么，但是
一个名词所指是这样或那样的东西，这原本是主观的意向或历史的要求，那
里并没有表现出这样一个概念是自在而自为地必然的，具有内在的真理。但
是从上所引，也表明了牛顿所提出的概念，与上述无限大小如何由对定量自
身的反思而产生，是相符合的。这就是从大小的消失来了解大小，即是说它
们已不再是定量；此外，它们也不是一定部分的比率，而是比率的极限。所
以无论定量本身（即比率的各项），或是比率本身（只要这个比率也是定量），
都应该消失；大小比率的极限，就是在那里既有比率，又没有比率，——更
精确地说，就是定量在那里消失了，从而比率只是作为质的量比率而被保留，
其各项也同样只是作为质的量环节而被保留。——牛顿又说，不可以从有正
在消失的大小的最后比率，推论出也有最后的或不可分的大小。那样就会叉
是从抽象的比率跳到这种比率的各项上去，这样的各项本身在其关系之外另
有一种值，它们是不可分的，像是某种是一或无几率的东西。

针对这种误解，他还提醒我们说，最后比率不是最后大小的比率，而是
极限；无限地减少着大小的比率，比任何已有的、即有限的差分都更接近极
限，但是这些比率却不可越出那个极限，那样就会成了无。如前所说，最后
的大小可以被了解为不可分的大小或一。但是在最后比率的规定中，无论是
漠不相关的一，即无比率之物的概念，或是有限的定量的观念，都除掉了。
另一方面，假如所要求的规定，已经发展成为钝粹仅仅是比率的环节这种大
小规定的概念，那就既不需要牛顿把定量移植其中而仅仅表现为无限进展的
那种无限的减少，也下需要在这里并不再有直接意义的那种可分性的规定。
①至于在定量消失中保留比率，在别处也有表现（例如卡尔诺②的《关于
微分计算的形而上学的一些思考》），即正在消失的大小，由于连续规律，
在消失之前仍然保持它们来源所自的比率。——这种观念只要不被了解为定
量的连续，就表现了事物的真正本性，因为这种连续在无限进展中仍有定量，
定量在消失中仍然这样继续自身，即在它自己的彼岸中所发生的，仍然只是
一个有限的定量，一个系列的新项；一个连续的过程总是被想像为这样的，

即：它所经过的值，全都仍然是有限的定量。反之，在被造成真正无限的那
种过渡中，连续的却是比率；因为这种过渡倒是恰恰在于把几率提出使其纯
粹，使无比率的规定（即一个定量是比率的一项，它被放在这种关系之外，
也还是一个定量）消失，所似这种比率是很连续的，保持自身的。在这样的
情况下，量的比率的这种纯净化不过是好像一个经验的实有物被概念掌握那
样。这种实有物之所以高出自身，是由于它的概念含有与它自身同一的规定，
但这是以这些规定的本质性和概念的统一性来把握的，在这之中，规定也就
失去了漠不相关的、非概念的持久存在了。

① 参看《自然哲学之数学原理》，郑太朴译，商务印书馆版，第60—61 页。——译者

② 卡伐里利（Cavdieri，1598—1647），博洛尼亚（Bologna）的数学教授，著有：《不可分的连绩的新几何
学》，1635 年，《几何学习题》，1647 年。——原编者注

① 参看第122 页。

② 拉薩尔·尼古拉·马格里特·卡尔诺伯爵（GrafLazareNicolasMargueriteCarnot，1753—1823），共和国军
“胜利的组织者”，一直到1815 年被放逐时，在政治上和军事上都同样是重要人物，死于马格德堡。他的
《关于微分计算的形而上学的一些思考》出版于1797 年。——原编者注

同样有兴趣的，是牛顿对现在所就的大小所表述的另一形式，即发生的
大小（erzeugende Grosse）或根本（Prinzipien）。一个已经发生的大小
（genita）是一个乘积或商数、方根、长方形、正方等——总之是一个有限
的大小。“这种大小在继续运动和流动中增减而被认为是可变的，所以他对
它的暂时增量（Inkrement）或减量（De－hement）用了瞬刻（Moinent）这
个名词。但是这些瞬刻不应该被看作是一定大小的细小部分（particu1ae
finitae）。这样的细小部分自身不是瞬刻，而是由瞬刻所发生的大小，这里
所指的，倒不如说是有限大小正在发生的根本或开始。”定量在这里便以它
是一个产物或实有物和以它是在发生中、在开始或根本中、即在它的概念中
（或说在它的质的规定中在这里也是一样）而与自身有区别；在质的规定中，
量的区别，即无限的增量或减量，只是环节；唯有已变成的东西，才是已经
过渡到实有的漠不相关和外在性中的东西，才是定量。——真概念的哲学虽
然必须承认上述关于增量或减量的无限规定，但是同时也必须注意到增量等
形式本身也是归于直接定量和已经说过的速摘进程的范畴之内的；而且x 有
了dx 或i 等的增量、增长、增添这样的观念，倒不如说应当看作是方法中存
在着根本毛病，对于把质的量环节的规定从普通定量观念纯净地提出来，是
一种长久存在的障碍。

无限小量的观念远比上述的规定落后，这种观念本身就掩藏在增量或减
量里面。按照这种观念看来，这些大小应该有这样的情况，即不仅是它们对
有限的大小说来，可以省略掉，就是它们的较高序列对较低序列，或多数的
乘积对个别乘积也都可以省略掉。①莱布尼兹突出地强调了这种省略的要求，
有关这种大小的方法以前的发明者也同样使这种省略发生。这种省略主要是
在运算过程中对计算赢得方便而有了不精密和显著不正确的外貌。——沃尔
夫曾以他自己的方式，企图使这种省略问题通俗化，这就是说使概念不纯洁，
用不正确的感性表象代替概念，而使其易于了解。他把较高极的无限差分对
较低极的省略，比作一个几何学家进行测量一座山的高度时，有风吹掉了峰
巅的一粒尘沙，或针算月蚀时省略了房屋、塔院的高度，都不会减少其精密。
（《普通数学初阶》，第一卷，《数学分析初阶》，第二部分，第一章注释。）
假如说常识承认这种不精密可以容许，那么，一切几何学家相反地，都
会抛弃这种想法。在数学科学中完全谈不到这样的经验的精密；而数学测量
由于运算或由于几何构造及证明也与田野丈量，经验的线、形等的测量完全
有区别：这是浪显然的事。除此而外，前面已经说过，数学分析家由于比较，
也指出如何用严密几何学方法和如何依无限差分的方法所得的粘果，彼此都
是一样的，完全没有较多或较少的精密性可言。很显然，一个绝对精密的秸のの網の
果不能来自一个不精密的处理方法。可是另一方面，这种处理方法自身又以
无足轻重为理由，不管前面所举的辩解遭到抗议，仍避免不了那种省略。要
把这里所包含的荒谬情况弄明白并加以消除，这正是数学分析家们勉力以赴
的困难所在。


① 参看第122 页

①对这一方面，首先要举出尤拉②的观念。由于他以牛顿的一般定义为基
础，他坚持微分针算耍考虑一个大小的增量的比率，但是又须把无限的差分
本身完全当作零（《微分升算教程》第一部分，第三章）。——对此须如何
了解，前面已经谈过了；无限差分只是定量的零，不是质的零，或不如说作
为定量的零，它仅仅是比率的纯粹环节。它不是一个就量而言的区别；所以
在一方面把被称为无限小量的那些瞬刻也说成是增量或减量，并且是差分，
那就简直是偏向了。这种规定首先是以把现存的有限大小加上或减去一点东
西为基础，先有一种减法或加法，即算术的、外在的运算。但是从变量函数
到它的微分的过渡，却必须看作是完全另外一种性质的过渡，如以前已经说
明过的，这种过渡必须被认为是把有限的西数归结到其量规定的质的比率。
——另一方面，假如说增量本身是零，要考虑的只是其比率，那么这一方面
的偏向也是很显然的；因为一个零简直就不会再有什么规定性了。这种观念
固然达到了定量的否定物并且表示了这个否定物，但是并没有同时以质的量
规定这种肯定意义来把握否定物，这些规定若是从比率中摘取出来而被看作
定量，那便会只是零。——①拉格朗日②（《解析面数论》，导言）判断极限
或最后比率的观念说，假如两个量仍然是有限的，那就立刻可以很容易设想
它们的比率，一旦这个比率之项同时成了零时，那么这个比例所给予的概念，
对于知性说来，就不明白、不确定了。③——事实上，知性必须超出比率各项
作为定量是零这种单纯否定的方面，而耍去把握它们是质的环节这种肯定的
方面。——尤拉在以后（见前引书§84 以下）又说两个所谓无限小量虽然不
过是零，却有一个相互的几率，所以对它们不用零的符号而用别的符号：他
为了此种证明而对有关的上述规定所增补的说法，是不能令人满意的。他想
用算术比率和几何比率的区别来论证这一点；在算术几率中我们所看到的是
差分，在几何比率中我们所看到的是商数，算术比率虽然等于两个零之同的
比率，但几何比率却不因此而也是那样；假如说2：1＝0：0，那么，就比例
的本性而言，第一项既然比第二项大两倍，第三项也就必须比第四项大两倍；
所以0：0 就比例说，应该被当作是2：1 之比。——即使就普通算术说，n·0
＝0，所以，n：1＝0：0。——但是正因为2：1 或n：1 是定量的比率，所以
既没有一个0：0 比率，也没有一个0：0